дано:
- температура воздуха: T(t) = 20 + 10 * cos(2πt/24 + φ),
- максимальная температура воздуха достигается в 15 часов,
- температура воды: T_water = 25 °C.
найти:
- время t, когда температура воды достигает 25 °C.
решение:
из условия задачи известно, что максимальная температура воздуха (T_max) достигается в 15 часов. Подставим это значение в формулу для температуры:
T(15) = 20 + 10 * cos(2π * 15/24 + φ).
в 15 часов cos(2π * 15/24 + φ) = cos(π/2 + φ) = 0,
поэтому T(15) = 20 °C.
это значение является минимумом температуры, а максимальная температура воздуха будет равна:
T_max = 20 + 10 = 30 °C.
так как температура воздуха изменяется периодично, нас интересует момент времени, когда температура воды будет равна 25 °C.
установим уравнение:
20 + 10 * cos(2πt/24 + φ) = 25.
перепишем уравнение:
10 * cos(2πt/24 + φ) = 5.
разделим обе части на 10:
cos(2πt/24 + φ) = 0.5.
известно, что cos(x) = 0.5 при x = π/3 и x = 5π/3.
подставляем:
2πt/24 + φ = π/3 + 2kπ,
где k — целое число (k ∈ Z).
выражаем t:
t = (12/π)(π/3 - φ + 2kπ) = 4 - (12φ/π) + 12k.
и
2πt/24 + φ = 5π/3 + 2kπ,
тогда
t = (12/π)(5π/3 - φ + 2kπ) = 20 - (12φ/π) + 12k.
так как нам нужно найти конкретные значения t, можем подставлять разные k, чтобы определить соответствующее время.
при k=0:
t1 = 4 - (12φ/π),
t2 = 20 - (12φ/π).
если температура воздуха в 15 часов является максимумом, то φ можно принять равным 0 (для простоты):
t1 = 4,
t2 = 20.
проверяем такое значение положения для максимальной температуры воды:
при t = 4 температура воды = 20 + 10 * cos(2π * 4/24) = 20 + 10 * cos(π/3) = 20 + 10 * 0.5 = 25 °C.
при t = 20 температура воды = 20 + 10 * cos(2π * 20/24) = 20 + 10 * cos(5π/3) = 20 + 10 * 0.5 = 25 °C.
ответ:
температура воды в пруду достигает 25 °C в 4 часа и 20 часов.