Question

Внутри сосуда объема V помещена резиновая оболочка объема V/4. И сосуд, и оболочка заполнены идеальным газом. В начальном состоянии температура газа T0 и оболочка не растянута. Когда газ внутри оболочки нагрели до температуры T1, сохраняя температуру остального газа неизменной, оболочка раздулась, и ее объем увеличился вдвое. До какой температуры нужно охладить газ в сосуде, поддерживая температуру T0 внутри оболочки, чтобы она раздулась до тех же размеров? Считайте, что упругие свойства оболочки не завися тот температуры.

Answer 1

Дано:  
- объем сосуда V  
- объем оболочки V/4  
- начальная температура газа T0  
- конечная температура газа внутри оболочки T1  
- объем оболочки после нагрева 2 * (V/4) = V/2  

Найти:  
- температуру, до которой нужно охладить газ в сосуде (T2), чтобы оболочка раздулась до объема V/2, при этом температура внутри оболочки остается равной T0.

Решение:
1. Используем закон Бойля-Мариотта для идеального газа. Для газа в оболочке до нагрева:
   P0 * (V/4) / T0 = n1 * R
   где P0 - давление газа в оболочке, n1 - количество вещества в оболочке, R - универсальная газовая постоянная.

2. После нагрева газа в оболочке до температуры T1:
   P1 * (V/2) / T1 = n1 * R

   Поскольку количество вещества n1 в оболочке не изменилось, можно выразить давление P1 через P0:
   P1 = P0 * (T1 / T0) * (2 / 1) = (2 * P0 * T1) / T0

3. Объем газа в сосуде после увеличения объема оболочки теперь составляет:
   V_gas = V - V/2 = V/2

4. Теперь используем закон Бойля для газа в сосуде, которому соответствует температура T2:
   P2 * (V/2) / T2 = n2 * R

   Но количество вещества n2 в сосуде будет равно n_total - n1, где n_total - общее количество газа в сосуде V и в оболочке V/4.

5. Напишем уравнение состояния для газа в сосуде:
   P2 * (V/2) / T2 = (P0 * (V/4) / T0) + P1 * (V/2) / T1

6. Подставив P1, получаем:
   P2 * (V/2) / T2 = (P0 * (V/4) / T0) + (2 * P0 * T1 / T0) * (V/2) / T1

7. Упрощая уравнение, получаем:
   P2 * (V/2) / T2 = P0 * (V/4) / T0 + P0 * (V/2) / T0

8. Сложив правую часть, мы имеем:
   P2 * (V/2) / T2 = P0 * (3V/4) / T0

9. Теперь упрощаем и решаем для T2:
   T2 = (P2 * V * T0) / (3P0)

10. Зная, что P2 = (2 * P0 * T1) / T0, подставляем значение P2 в уравнение:
    T2 = ((2 * P0 * T1) / T0 * V * T0) / (3P0) = (2 * V * T1) / (3 * V)

Таким образом, T2 = (2 * T1) / 3.

Ответ:  
Необходимо охладить газ в сосуде до температуры T2 = (2 * T1) / 3, чтобы оболочка раздулась до объема V/2, поддерживая температуру T0 внутри оболочки.