Дано:
- Скорость груза в нижней точке v1 = 10 м/с
- Скорость груза в верхней точке v2 = 8 м/с
- Ускорение свободного падения g ≈ 9.81 м/с²
Найти:
1. Длину нити L.
Решение:
1. В нижней точке груза действует центробежная сила и сила тяжести, которая направлена вниз. В верхней точке центробежная сила и сила тяжести действуют в одну сторону.
2. Рассмотрим уравнение движения для груза в нижней и верхней точках.
В нижней точке:
F_c = T - mg,
где T — натяжение нити, m — масса груза, F_c — центробежная сила.
Центробежная сила:
F_c = mv1^2 / L.
Подставим в уравнение:
mv1^2 / L = T - mg.
3. В верхней точке:
F_c' = T' + mg,
где T' — натяжение нити в верхней точке, F_c' — центробежная сила в верхней точке.
Центробежная сила:
F_c' = mv2^2 / L.
Подставим в уравнение:
mv2^2 / L = T' + mg.
4. Теперь у нас есть две системы уравнений. Мы можем выразить T и T':
T = mv1^2 / L + mg,
T' = mv2^2 / L - mg.
5. Приравняем T и T':
mv1^2 / L + mg = mv2^2 / L - mg.
6. Переносим все члены на одну сторону:
mv1^2 / L - mv2^2 / L + 2mg = 0.
7. Сократим на m:
(v1^2 - v2^2) / L + 2g = 0.
8. Отсюда выражаем длину нити L:
L = (v1^2 - v2^2) / (2g).
9. Подставим значения:
L = (10^2 - 8^2) / (2 * 9.81),
L = (100 - 64) / (19.62),
L = 36 / 19.62,
L ≈ 1.838 м.
Ответ:
Длина нити составляет L ≈ 1.838 м.