дано:
- заряд на обкладках конденсатора q = 3 * 10^(-7) cos(800πt) (Кл)
- индуктивность L = 3 Гн
найти: ёмкость C (Ф) и максимальное значение энергии магнитного поля W_max (Дж)
решение:
1. Найдем максимальное значение заряда Q. Это значение равно амплитуде функции:
Q = 3 * 10^(-7) Кл.
2. Теперь определим частоту колебаний ω из уравнения заряда:
ω = 800π рад/с.
3. Связь между ёмкостью C, зарядом Q и напряжением U на конденсаторе описывается формулой:
Q = C * U.
Также можно выразить U через заряд и ёмкость:
U = Q / C.
4. Зная, что для колебательного контура в резонансе выполняется соотношение:
ω² = 1 / (LC), мы можем выразить ёмкость C:
C = 1 / (ω² * L).
5. Подставляем известные значения:
C = 1 / ((800π)² * 3).
Вычислим (800π)²:
(800π)² = 640000π².
Теперь подставим это значение в формулу для ёмкости:
C = 1 / (640000π² * 3) ≈ 1 / (1920000π²).
Теперь приблизительно вычислим значение π² ≈ 9.87:
C ≈ 1 / (1920000 * 9.87) ≈ 1 / 18916464 ≈ 5.28 * 10^(-8) Ф = 52.8 нФ.
6. Теперь найдем максимальное значение энергии магнитного поля в контуре:
W_max = (1/2) * L * I_max².
Где I_max - максимальный ток, который можно найти через амплитуду заряда:
I_max = ω * Q / L.
Подставим значения:
I_max = 800π * (3 * 10^(-7)) / 3.
Вычислим:
I_max = 800 * π * 10^(-7) = 800 * 3.14 * 10^(-7) ≈ 2.51 * 10^(-4) А.
Теперь подставим I_max в формулу для W_max:
W_max = (1/2) * 3 * (2.51 * 10^(-4))².
Сначала вычислим (2.51 * 10^(-4))²:
(2.51 * 10^(-4))² ≈ 6.30 * 10^(-8).
Теперь подставим это значение в формулу для W_max:
W_max ≈ (1/2) * 3 * 6.30 * 10^(-8) = 9.45 * 10^(-8) Дж.
ответ: ёмкость C составляет примерно 52.8 нФ; максимальное значение энергии магнитного поля W_max составляет примерно 9.45 * 10^(-8) Дж.