Частица движется со скоростью v(t) = -5ex/t + ey/t + 2ez/t(м/с). Найти: (а) пройденный путь s за интервал времени между 3-й и 6-й секундами.
от

1 Ответ

дано:  
v(t) = -5ex/t + ey/t + 2ez/t (м/с) (скорость частицы)  
t1 = 3 с (начальный момент времени)  
t2 = 6 с (конечный момент времени)

найти:  
пройденный путь s за интервал времени от t1 до t2

решение:  
Для нахождения пройденного пути необходимо сначала вычислить интеграл модуля скорости v(t) по времени от t1 до t2.  

Сначала найдем модуль скорости:  

|v(t)| = sqrt((-5/t)^2 + (1/t)^2 + (2/t)^2)  
|v(t)| = sqrt((25/t^2) + (1/t^2) + (4/t^2))  
|v(t)| = sqrt(30/t^2)  
|v(t)| = sqrt(30) / t

Теперь найдём пройденный путь s как интеграл модуля скорости по времени:  

s = ∫[t1, t2] |v(t)| dt  
s = ∫[3, 6] (sqrt(30) / t) dt

Вычислим интеграл:  

s = sqrt(30) * ∫[3, 6] (1/t) dt  
s = sqrt(30) * [ln(t)]|[3, 6]  
s = sqrt(30) * (ln(6) - ln(3))  
s = sqrt(30) * ln(2)

Теперь подставим значение sqrt(30) и вычислим:  
sqrt(30) ≈ 5.477

s ≈ 5.477 * ln(2)  
ln(2) ≈ 0.693  
s ≈ 5.477 * 0.693 ≈ 3.8 метров

ответ:  
Пройденный путь s ≈ 3.8 метров
от