Дано:
1. Общие средства банка (собственные средства + депозиты) — 100 000 у.е.
2. Часть средств должна быть размещена в кредитах, но не менее 35 000 у.е.
3. В ценных бумагах должно быть размещено не менее 30% активов банка.
4. Доходность от кредитов — 0,6% в день.
5. Доходность от ценных бумаг — 0,2% в день.
Необходимо найти оптимальное размещение средств банка, чтобы максимизировать доход.
Обозначим:
- X — сумма, размещенная в кредитах.
- Y — сумма, размещенная в ценных бумагах.
Условия:
1. X + Y = 100 000 у.е. (все средства должны быть размещены).
2. X ≥ 35 000 у.е. (не менее 35 000 у.е. должно быть размещено в кредитах).
3. Y ≥ 30% от 100 000 у.е. = 30 000 у.е. (не менее 30% должно быть размещено в ценных бумагах).
Целевая функция (максимизация дохода):
Доход банка будет равен:
F = 0,006 * X + 0,002 * Y
Где:
0,006 — это доходность от кредитов (0,6% в день).
0,002 — это доходность от ценных бумаг (0,2% в день).
Подставим Y = 100 000 - X в целевую функцию:
F = 0,006 * X + 0,002 * (100 000 - X)
Раскроем скобки:
F = 0,006 * X + 200 - 0,002 * X
Упростим выражение:
F = 0,004 * X + 200
Теперь мы видим, что доход банка F зависит от X, и максимизация F происходит при максимальном значении X. Чтобы найти максимальный доход, нужно выбрать X как можно больше, но при этом учесть ограничения:
- X ≥ 35 000 у.е.
- Y ≥ 30 000 у.е.
При максимальном значении X = 70 000 у.е. (так как X + Y = 100 000, и Y ≥ 30 000 у.е.), Y будет равно 30 000 у.е.
Таким образом, оптимальное размещение средств будет следующим:
- X = 70 000 у.е. в кредитах,
- Y = 30 000 у.е. в ценных бумагах.
Теперь вычислим максимальный доход F:
F = 0,004 * 70 000 + 200
F = 280 + 200
F = 480 у.е.
Ответ:
Оптимальный план размещения собственных средств банка: 70 000 у.е. размещено в кредитах и 30 000 у.е. — в ценных бумагах. Максимальный доход банка составит 480 у.е. в день.