Дано:
- Машина ЗИЛ имеет грузоподъемность 5 т.
- Машина МАЗ имеет грузоподъемность 7 т.
- Необходимо перевезти 350 т груза.
- ЗИЛ расходует 2 кг смазочных материалов и 50 л горючего за один рейс.
- МАЗ расходует 3 кг смазочных материалов и 70 л горючего за один рейс.
- На складе имеется 72 кг смазочного материала и 720 л горючего.
- Затраты на эксплуатацию ЗИЛ составляют 1000 р. за рейс, а на МАЗ — 1500 р. за рейс.
Найти: существует ли оптимальный план перевозок, минимизирующий затраты на горюче-смазочные материалы.
Решение:
Обозначим:
- x1 — количество рейсов, выполненных ЗИЛом.
- x2 — количество рейсов, выполненных МАЗом.
1. Ограничения на грузоподъемность:
5x1 + 7x2 = 350 (поскольку необходимо перевезти 350 т).
2. Ограничения на смазочные материалы:
2x1 + 3x2 ≤ 72 (на складе имеется 72 кг смазочного материала).
3. Ограничения на горючее:
50x1 + 70x2 ≤ 720 (на складе имеется 720 л горючего).
4. Целевая функция (затраты на эксплуатацию):
1000x1 + 1500x2 (затраты на эксплуатацию каждой машины).
Теперь составим систему уравнений и неравенств:
5x1 + 7x2 = 350 (груз).
2x1 + 3x2 ≤ 72 (смазочные материалы).
50x1 + 70x2 ≤ 720 (горючее).
Целевая функция:
f(x1, x2) = 1000x1 + 1500x2.
Для нахождения решения нужно решить эту задачу линейного программирования.
1. Из первого уравнения (5x1 + 7x2 = 350) выразим x1:
x1 = (350 - 7x2) / 5.
2. Подставим это выражение в ограничения на смазочные материалы и горючее:
2((350 - 7x2) / 5) + 3x2 ≤ 72,
50((350 - 7x2) / 5) + 70x2 ≤ 720.
Упростим эти неравенства:
(700 - 14x2) / 5 + 3x2 ≤ 72,
(3500 - 70x2) / 5 + 70x2 ≤ 720.
Решение этих неравенств покажет, есть ли такое значение x2, которое удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: оптимального плана перевозок при заданных условиях нет, так как целевая функция не достигает минимального значения. Необходимо изменить условия задачи, например, увеличить количество смазочного материала и горючего на складе или уменьшить потребности в этих ресурсах для каждой машины.