Дано:
- Количество номеров в гостинице: 60
- Цена за номер 1920 р., количество занятых номеров: 50
- Цена за номер 1780 р., количество занятых номеров: 55
Необходимо найти максимальную выручку и цену, при которой она достигается, при условии, что функция спроса линейная.
Решение:
1. Пусть x — цена за номер, а y — количество занятых номеров. Функция спроса имеет вид y = a * x + b, где a и b — коэффициенты, которые нужно найти.
Из условия задачи имеем две точки на графике:
- При цене 1920 р. занято 50 номеров: (1920, 50)
- При цене 1780 р. занято 55 номеров: (1780, 55)
Найдем коэффициенты a и b, подставив значения в уравнение y = a * x + b.
Для двух точек (x1, y1) = (1920, 50) и (x2, y2) = (1780, 55):
1) Найдем коэффициент a:
a = (y2 - y1) / (x2 - x1)
a = (55 - 50) / (1780 - 1920)
a = 5 / (-140)
a = -1/28
2) Теперь найдем коэффициент b. Подставим a = -1/28 в уравнение для первой точки (1920, 50):
50 = (-1/28) * 1920 + b
50 = -1920/28 + b
50 = -68.57 + b
b = 50 + 68.57
b = 118.57
Таким образом, уравнение функции спроса:
y = (-1/28) * x + 118.57
3. Теперь найдем максимальную выручку. Выручка R = цена * количество занятых номеров, то есть R(x) = x * y(x). Подставим уравнение спроса в формулу для выручки:
R(x) = x * [(-1/28) * x + 118.57]
R(x) = (-1/28) * x^2 + 118.57 * x
4. Чтобы найти максимальную выручку, нужно найти производную функции R(x) и приравнять её к нулю.
dR(x)/dx = (-2/28) * x + 118.57 = 0
-2x/28 + 118.57 = 0
x = (118.57 * 28) / 2
x = 1660 / 2
x = 1640
5. Теперь подставим x = 1640 в уравнение спроса, чтобы найти количество занятых номеров при этой цене:
y = (-1/28) * 1640 + 118.57
y = -58.57 + 118.57
y = 60
Максимальная выручка будет при цене 1640 р. за номер и 60 занятых номерах.
6. Рассчитаем максимальную выручку:
R(1640) = 1640 * 60
R(1640) = 98 400 р.
Ответ: Максимальная выручка составляет 98 400 р., при цене 1640 р. за номер.