Дано:
- Цена за монитор при продажах 100 мониторов в неделю = 28 000 р.
- Цена за монитор при продажах 80 мониторов в неделю = 29 000 р.
- Постоянные издержки производства в неделю = 150 000 р.
- Переменные издержки за один монитор = 8 000 р.
- Функция спроса линейная.
Найти:
- Функцию прибыли.
- Максимальную прибыль и цену, при которой она достигается.
Решение:
1. Определим функцию спроса.
Спрос зависит от цены, и предполагаем, что эта зависимость линейная. Пусть p(x) — цена при продаже x мониторов. Тогда спрос можно записать как линейную функцию вида:
p(x) = a - b * x,
где a и b — константы, которые нужно найти.
Из условия задачи нам даны два значения для p(x) и x:
- при x = 100, p(100) = 28 000,
- при x = 80, p(80) = 29 000.
Подставим эти данные в уравнение p(x):
1) 28 000 = a - b * 100,
2) 29 000 = a - b * 80.
Решим систему уравнений.
Из первого уравнения:
a - 100b = 28 000,
a = 28 000 + 100b.
Подставим это во второе уравнение:
28 000 + 100b - 80b = 29 000,
20b = 1 000,
b = 1 000 / 20 = 50.
Теперь подставим значение b в первое уравнение:
a - 100 * 50 = 28 000,
a = 28 000 + 5 000 = 33 000.
Таким образом, функция спроса:
p(x) = 33 000 - 50 * x.
2. Найдем функцию прибыли.
Прибыль P(x) = Выручка - Издержки.
Выручка W(x) = p(x) * x = (33 000 - 50 * x) * x = 33 000x - 50x^2.
Издержки C(x) = постоянные издержки + переменные издержки за монитор:
C(x) = 150 000 + 8 000x.
Прибыль:
P(x) = W(x) - C(x),
P(x) = (33 000x - 50x^2) - (150 000 + 8 000x),
P(x) = -50x^2 + 33 000x - 150 000 - 8 000x,
P(x) = -50x^2 + 25 000x - 150 000.
3. Найдем максимальную прибыль.
Для максимизации прибыли находим производную функции прибыли и приравниваем её к нулю:
dP(x)/dx = -100x + 25 000 = 0,
100x = 25 000,
x = 25 000 / 100 = 250.
Теперь подставим x = 250 в функцию прибыли, чтобы найти максимальную прибыль:
P(250) = -50 * 250^2 + 25 000 * 250 - 150 000,
P(250) = -50 * 62 500 + 6 250 000 - 150 000,
P(250) = -3 125 000 + 6 250 000 - 150 000,
P(250) = 3 125 000 - 150 000,
P(250) = 2 975 000.
Ответ:
Максимальная прибыль составит 2 975 000 р., и она достигается при цене 20 000 р. за монитор.