дано: отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром в точке О
найти:
а) доказать, что хорды АС и BD равны;
б) доказать, что хорды АС и BD перпендикулярны;
в) доказать, что ∠САВ = ∠СDВ;
г) найти периметр треугольника АСО, если диаметр окружности равен 18 см, а хорда BD равна 12 см
решение:
а) Доказательство, что хорды АС и BD равны:
1. Поскольку АВ и CD — диаметры окружности, то отрезки ОА = ОБ = ОС = ОД, так как все они являются радиусами окружности.
2. Точки А, С, В, D лежат на окружности. Также известно, что хорды АС и BD пересекаются в центре окружности.
3. Хорды АС и BD расположены симметрично относительно центра окружности. Таким образом, отрезки АС и BD равны.
б) Доказательство, что хорды АС и BD перпендикулярны:
1. Поскольку АВ и CD — диаметры окружности и перпендикулярны друг другу, то хорды АС и BD пересекаются под прямым углом в центре окружности.
2. Таким образом, хорды АС и BD перпендикулярны.
в) Доказательство, что ∠САВ = ∠СDВ:
1. В треугольниках АСО и СДО оба угла ∠САВ и ∠СDВ опираются на одинаковые дуги окружности (дугу АВ и дугу CD).
2. По свойствам окружности углы, опирающиеся на одинаковые дуги, равны. Следовательно, ∠САВ = ∠СDВ.
г) Найдем периметр треугольника АСО:
1. Из условия известно, что диаметр окружности равен 18 см, следовательно, радиус окружности равен R = 18 / 2 = 9 см.
2. Хорда BD равна 12 см. Мы знаем, что хорда BD перпендикулярна диаметру АВ в центре окружности. Это значит, что точка пересечения BD с диаметром АВ является серединой хорды, и треугольник BDО является прямоугольным.
3. Поскольку в прямоугольном треугольнике BDО гипотенуза равна диаметру окружности (18 см), а катет равен половине хорды BD (6 см), можем найти второй катет (расстояние от точки О до хорды BD) с помощью теоремы Пифагора:
(9)^2 = (6)^2 + (катет)^2
81 = 36 + (катет)^2
(катет)^2 = 45
катет = √45 ≈ 6.7 см.
4. Таким образом, для периметра треугольника АСО мы знаем следующие стороны:
- Радиус ОА = 9 см,
- Радиус ОС = 9 см,
- Катет от центра до хорды BD ≈ 6.7 см.
5. Периметр треугольника АСО равен:
P = 9 + 9 + 6.7 ≈ 24.7 см.
ответ:
а) Хорды АС и BD равны.
б) Хорды АС и BD перпендикулярны.
в) ∠САВ = ∠СDВ.
г) Периметр треугольника АСО равен примерно 24.7 см.