Отрезки АВ  и  CD  —  диаметры  окружности  с  центром  О.  Докажите,  что: а)  хорды  АС  и  BD  равны;      б)  АСBD;        в)    ∠САВ = ∠СDВ.        г)    Найдите    периметр  треугольника  АСО,  если  известно,  что  диаметр  окружности  равен  18  см,  а  хорда  DB  равна  12  см
от

1 Ответ

дано: отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром в точке О  
найти:  
а) доказать, что хорды АС и BD равны;  
б) доказать, что хорды АС и BD перпендикулярны;  
в) доказать, что ∠САВ = ∠СDВ;  
г) найти периметр треугольника АСО, если диаметр окружности равен 18 см, а хорда BD равна 12 см  

решение:  

а) Доказательство, что хорды АС и BD равны:

1. Поскольку АВ и CD — диаметры окружности, то отрезки ОА = ОБ = ОС = ОД, так как все они являются радиусами окружности.
2. Точки А, С, В, D лежат на окружности. Также известно, что хорды АС и BD пересекаются в центре окружности.
3. Хорды АС и BD расположены симметрично относительно центра окружности. Таким образом, отрезки АС и BD равны.

б) Доказательство, что хорды АС и BD перпендикулярны:

1. Поскольку АВ и CD — диаметры окружности и перпендикулярны друг другу, то хорды АС и BD пересекаются под прямым углом в центре окружности.
2. Таким образом, хорды АС и BD перпендикулярны.

в) Доказательство, что ∠САВ = ∠СDВ:

1. В треугольниках АСО и СДО оба угла ∠САВ и ∠СDВ опираются на одинаковые дуги окружности (дугу АВ и дугу CD).
2. По свойствам окружности углы, опирающиеся на одинаковые дуги, равны. Следовательно, ∠САВ = ∠СDВ.

г) Найдем периметр треугольника АСО:

1. Из условия известно, что диаметр окружности равен 18 см, следовательно, радиус окружности равен R = 18 / 2 = 9 см.
2. Хорда BD равна 12 см. Мы знаем, что хорда BD перпендикулярна диаметру АВ в центре окружности. Это значит, что точка пересечения BD с диаметром АВ является серединой хорды, и треугольник BDО является прямоугольным.
3. Поскольку в прямоугольном треугольнике BDО гипотенуза равна диаметру окружности (18 см), а катет равен половине хорды BD (6 см), можем найти второй катет (расстояние от точки О до хорды BD) с помощью теоремы Пифагора:
   
   (9)^2 = (6)^2 + (катет)^2  
   81 = 36 + (катет)^2  
   (катет)^2 = 45  
   катет = √45 ≈ 6.7 см.

4. Таким образом, для периметра треугольника АСО мы знаем следующие стороны:  
   - Радиус ОА = 9 см,  
   - Радиус ОС = 9 см,  
   - Катет от центра до хорды BD ≈ 6.7 см.  

5. Периметр треугольника АСО равен:

   P = 9 + 9 + 6.7 ≈ 24.7 см.

ответ:  
а) Хорды АС и BD равны.  
б) Хорды АС и BD перпендикулярны.  
в) ∠САВ = ∠СDВ.  
г) Периметр треугольника АСО равен примерно 24.7 см.
от