дано:
Угол АВС, равный 30°, вписан в окружность.
найти:
Доказать, что длина хорды АС равна радиусу окружности.
решение:
1. Пусть радиус окружности равен R.
2. Угол АВС является вписанным углом, опирающимся на дугу АС.
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу. То есть, центральный угол, опирающийся на дугу АС, будет равен 2 * 30° = 60°.
4. Рассмотрим треугольник ОАС, где О — центр окружности, а ОА и ОС — радиусы окружности.
5. Треугольник ОАС является равнобедренным (ОА = ОС = R).
6. Угол при вершине O в треугольнике ОАС равен 60° (так как центральный угол, опирающийся на дугу АС, равен 60°).
7. Для нахождения длины хорды АС используем теорему о косинусах для треугольника ОАС:
AC^2 = OA^2 + OS^2 - 2 * OA * OS * cos(60°).
8. Подставим значения:
AC^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(60°).
cos(60°) = 1/2.
AC^2 = R^2 + R^2 - 2 * R^2 * (1/2).
AC^2 = 2R^2 - R^2 = R^2.
9. Следовательно, AC = R.
ответ:
Длина хорды АС равна радиусу окружности.