дано:
Равносторонний треугольник ABC. Окружность построена на одной из сторон этого треугольника как на диаметре.
найти:
Докажите, что полуокружность делится двумя другими сторонами треугольника на равные дуги.
решение:
1. Пусть треугольник ABC равносторонний, то есть все его углы равны 60°. Окружность построена на одной из сторон, например на стороне AB, как на диаметре.
2. Так как AB — диаметр окружности, то угол ACB, который опирается на эту дугу, будет прямым по теореме о угле, опирающемся на диаметр. То есть угол ACB = 90°.
3. Теперь рассмотрим углы, которые образуют другие две стороны треугольника — AC и BC — с окружностью. Эти углы будут равны, так как треугольник равносторонний.
4. Вершины точек касания окружности с дугой, образуемой полуокружностью, делят её на две равные части, так как углы, опирающиеся на эти дуги, равны. Таким образом, дуги, на которые делится полуокружность, будут равными.
ответ:
Полуокружность делится двумя другими сторонами треугольника на равные дуги.