Дано:
- Окружность с центром O и радиусом R.
- Угол ∠ABC, вершина которого находится внутри круга, где A и B — точки на окружности.
- Дуга AC расположена внутри угла ∠ABC, а дуга BD — внутри вертикального угла.
Найти:
- Доказать, что угол ∠ABC измеряется полусуммой дуг AC и BD.
Решение:
1. Пусть угол ∠ABC имеет вершину в точке B, и стороны угла пересекают окружность в точках A и C.
2. Рассмотрим дуги:
- Дуга AC, которая находится внутри угла ∠ABC.
- Дуга BD, которая соответствует вертикальному углу к углу ∠ABC.
3. Известно, что угол, заключённый между двумя секущими из одной точки (в данном случае, из точки B), равен половине разности длин дуг, заключённых между этими секущими.
4. В нашем случае, сумма дуг AC и BD будет равна полусумме этих дуг:
угол ∠ABC = (длина дуги AC + длина дуги BD) / 2.
5. Таким образом, величина угла ∠ABC измеряется как полусумма дуг AC и BD.
Ответ:
Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая — внутри угла, вертикального данному.