Дано:
- Угол ∠ABC с вершиной в точке B.
- Прямая BD — биссектриса угла ∠ABC.
- Точка O находится на биссектрисе угла ∠ABC.
Найти:
- Доказать, что точка O, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон угла.
Решение:
1. Пусть угол ∠ABC делится биссектрисой BD на два равных угла: ∠ABD = ∠DBC.
2. Рассмотрим две точки на сторонах угла: A и C. Точка O лежит на биссектрисе BD, и мы хотим доказать, что расстояния от точки O до сторон угла AB и BC равны.
3. Из теоремы о биссектрисе угла известно, что биссектрисы угла делят угол на два равных угла. Это означает, что любые два отрезка, проведённые из точки на биссектрисе угла и перпендикулярные к его сторонам, будут равны.
4. Пусть OP1 и OP2 — перпендикуляры, опущенные из точки O на стороны AB и BC соответственно. Так как точка O лежит на биссектрисе угла, по теореме о равных расстояниях от точки до сторон угла, имеем:
OP1 = OP2.
Ответ:
Точка O, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.