дано: боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:5, периметр треугольника P = 252 см.
найти: стороны треугольника, количество решений задачи.
решение:
1. Пусть основание треугольника равно BC, а боковые стороны равны AB и AC. Обозначим длину боковой стороны как x, а длину основания как y.
2. Точка касания окружности делит боковую сторону на два отрезка, которые относятся как 8:5. Это означает, что длины отрезков AM и MB на боковой стороне AB и длины отрезков CN и NB на боковой стороне AC делятся в этом же отношении. Следовательно, на боковой стороне AB:
- AM = 8k,
- BM = 5k,
а на боковой стороне AC:
- CN = 8k,
- NB = 5k.
3. Периметр треугольника равен 252 см:
P = AB + BC + AC
P = 2x + y = 252 см.
4. Так как AM = 8k и BM = 5k, то длина боковой стороны AB (или AC) будет:
AB = AM + BM = 8k + 5k = 13k,
так что x = 13k.
5. Основание BC состоит из отрезков, длина которых 5k и 8k, поэтому:
BC = 5k + 8k = 13k,
так что y = 13k.
6. Подставим эти выражения в формулу для периметра:
2(13k) + 13k = 252,
26k + 13k = 252,
39k = 252,
k = 252 / 39,
k = 6.
7. Теперь найдём стороны треугольника:
x = 13k = 13 * 6 = 78 см,
y = 13k = 13 * 6 = 78 см.
Ответ: стороны треугольника равны 78 см, периметр равен 252 см.
Количество решений: данная задача имеет единственное решение.