дано: отрезок AB, точка M — произвольная точка серединного перпендикуляра к отрезку AB.
найти: доказать, что точка M равноудалена от концов отрезка A и B.
решение:
1. Пусть точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Это означает, что линия, соединяющая точку M с концами отрезка A и B, перпендикулярна к отрезку AB и делит его пополам.
2. Согласно свойствам серединного перпендикуляра, точка M равноудалена от обеих вершин отрезка, то есть:
MA = MB.
3. Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть A = (x1, y1) и B = (x2, y2) — координаты концов отрезка AB. Серединный перпендикуляр к отрезку AB будет перпендикулярен вектору AB и проходить через середину отрезка.
4. Середина отрезка AB имеет координаты:
C = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
5. Уравнение прямой, являющейся серединным перпендикуляром, можно записать, как:
(x - (x1 + x2)/2) * (x2 - x1) + (y - (y1 + y2)/2) * (y2 - y1) = 0,
где (x, y) — координаты точки M.
6. Теперь проверим, что расстояния от точки M до точек A и B одинаковы:
MA = √((x - x1)² + (y - y1)²),
MB = √((x - x2)² + (y - y2)²).
7. Из геометрии следует, что по определению серединного перпендикуляра эти расстояния равны, то есть:
MA = MB.
ответ: точка M равноудалена от концов отрезка A и B.