дано: в треугольнике MNP биссектрисы углов M и N пересекаются в точке O, MN = PN, угол ∠PON = 125°.
найти: угол ∠PMN.
решение:
1. Треугольник MNP является изосцелесовым, так как MN = PN.
2. Биссектрисы углов M и N пересекаются в точке O, которая является центром вписанной окружности треугольника MNP.
3. Угол между биссектрисами ∠PON = 125°. Из свойства биссектрис известно, что угол между биссектрисами равен половине угла, противоположного вершине. То есть:
∠PON = 180° - (∠M + ∠N) / 2.
4. Подставим значение угла ∠PON:
125° = 180° - (∠M + ∠N) / 2.
5. Переносим (∠M + ∠N) / 2 на одну сторону:
(∠M + ∠N) / 2 = 180° - 125° = 55°.
6. Умножаем обе части на 2:
∠M + ∠N = 110°.
7. В треугольнике сумма углов всегда равна 180°, поэтому:
∠M + ∠N + ∠PMN = 180°.
8. Подставляем значение ∠M + ∠N:
110° + ∠PMN = 180°.
9. Вычисляем угол ∠PMN:
∠PMN = 180° - 110° = 70°.
ответ: угол ∠PMN равен 70°.