дано: центр окружности, описанной около треугольника ABC, принадлежит медиане BM, угол ∠AOC = 140°.
найти: углы треугольника ABC.
решение:
1. Поскольку центр описанной окружности лежит на медиане BM, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, и BM — медиана, одновременно являющаяся и высотой, и биссектрисой. Это свойство следует из того, что центр окружности всегда лежит на медиане, если треугольник равнобедренный.
2. Из геометрии окружности известно, что угол, образованный радиусами окружности (AO и CO), равен удвоенному углу при основании треугольника. То есть угол ∠AOC в два раза больше угла ∠ABC:
∠AOC = 2 * ∠ABC.
3. Подставим значение угла ∠AOC:
140° = 2 * ∠ABC.
4. Решим для ∠ABC:
∠ABC = 140° / 2 = 70°.
5. Так как треугольник равнобедренный с основанием AC, углы при основании равны. Следовательно, угол ∠ACB тоже равен 70°.
6. Сумма углов треугольника всегда равна 180°. Тогда угол ∠BAC можно найти как:
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70° - 70° = 40°.
ответ:
углы треугольника ABC равны:
∠ABC = 70°,
∠ACB = 70°,
∠BAC = 40°.