дано: центр описанной окружности лежит на медиане треугольника.
найти: доказать, что этот треугольник либо прямоугольный, либо равнобедренный.
решение:
1. Пусть ABC — треугольник, и M — середина стороны BC, то есть медиана BM проходит из вершины B в середину стороны AC. Центр описанной окружности, обозначим его O, лежит на этой медиане.
2. Из геометрии окружности известно, что центр описанной окружности треугольника всегда лежит на медиане, если треугольник является равнобедренным. В случае равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектрисы совпадают, и центр окружности лежит на медиане. Это сразу доказывает, что треугольник может быть равнобедренным.
3. Теперь рассмотрим случай, если треугольник не равнобедренный. В этом случае медиана BM делит треугольник на два неравных по площади подмножества. Но если центр окружности лежит на медиане, то для выполнения этого условия углы при основании должны быть равны, что приводит к тому, что треугольник должен быть прямоугольным.
4. Таким образом, если центр описанной окружности лежит на медиане, то треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
ответ: треугольник либо прямоугольный, либо равнобедренный.