дано:
Прямоугольник ABCD, диагональ BD = 13 дм. Периметр треугольника ABD равен 30 дм.
найти:
Периметр прямоугольника ABCD.
решение:
1. В прямоугольнике ABCD диагональ BD делит его на два прямоугольных треугольника: ABD и BCD. Дано, что периметр треугольника ABD равен 30 дм.
2. Периметр треугольника ABD равен сумме его сторон:
Периметр = AB + AD + BD.
3. Пусть длины сторон AB = a и AD = b. Тогда:
a + b + BD = 30.
Подставим значение BD = 13:
a + b + 13 = 30,
a + b = 17.
4. По теореме Пифагора для треугольника ABD, где BD — гипотенуза:
a² + b² = BD²,
a² + b² = 13² = 169.
5. Мы имеем систему уравнений:
1) a + b = 17,
2) a² + b² = 169.
6. Решим эту систему. Из первого уравнения выразим b через a:
b = 17 - a.
7. Подставим это в второе уравнение:
a² + (17 - a)² = 169,
a² + (289 - 34a + a²) = 169,
2a² - 34a + 289 = 169,
2a² - 34a + 120 = 0.
8. Решим квадратное уравнение 2a² - 34a + 120 = 0. Используем дискриминант:
D = (-34)² - 4 * 2 * 120 = 1156 - 960 = 196,
a = (34 ± √196) / 4 = (34 ± 14) / 4.
9. Получаем два решения:
a = (34 + 14) / 4 = 48 / 4 = 12,
a = (34 - 14) / 4 = 20 / 4 = 5.
10. Тогда b = 17 - a = 17 - 12 = 5 или b = 17 - 5 = 12.
11. Следовательно, стороны прямоугольника ABCD равны:
AB = 12 дм и AD = 5 дм.
12. Периметр прямоугольника равен:
Периметр = 2 * (AB + AD) = 2 * (12 + 5) = 2 * 17 = 34 дм.
ответ:
Периметр прямоугольника ABCD равен 34 дм.