дано:
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O. Угол ∠ACB = 30°. Длина стороны CD = 14 см.
найти:
Периметр треугольника AOB.
решение:
1. В прямоугольнике диагонали делят друг друга пополам, то есть OA = OC и OB = OD. Также все углы прямоугольника равны 90°.
2. Сторона CD является одной из сторон прямоугольника, поэтому длина AB тоже равна 14 см (так как противолежащие стороны прямоугольника равны).
3. Углы треугольника AOB:
- ∠AOB = 180° - ∠ACB = 180° - 30° = 150°.
4. Теперь найдем длину AO (или BO). Так как треугольник AOB является равнобедренным, мы можем использовать закон синусов. Сначала найдем длину AC:
AC = AB * sin(∠ACB) = 14 * sin(30°) = 14 * 0.5 = 7 см.
5. Поскольку треугольник AOB равнобедренный (AO = BO), можно записать:
AO = AC = 7 см.
6. Теперь найдем OB, используя закон косинусов в треугольнике AOB:
AB² = AO² + OB² - 2 * AO * OB * cos(∠AOB).
Подставим известные значения:
14² = 7² + OB² - 2 * 7 * OB * cos(150°).
7. Зная, что cos(150°) = -cos(30°) = -√3/2, мы получаем:
196 = 49 + OB² + 7√3 * OB.
8. Перепишем уравнение и упростим:
OB² + 7√3 * OB - 147 = 0.
9. Решим квадратное уравнение для OB. Используем дискриминант:
D = (7√3)² - 4 * 1 * (-147) = 147 - (-588) = 735.
10. Теперь найдём корни уравнения:
OB = (-7√3 ± √735) / 2.
11. Необходимо вычислить длины AO и BO, чтобы найти периметр треугольника AOB:
Периметр = AO + OB + AB.
12. Подсчитаем приблизительные значения и периметр:
AO = 7 см,
OB ≈ (±√735 / 2) + 7√3/2 ≈ 7 см (принимаем положительное значение),
Периметр = 7 + 7 + 14 = 28 см.
ответ:
Периметр треугольника AOB равен 28 см.