Дано:
1. Параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где все грани являются прямоугольниками.
2. Угол между диагоналями грани DD1C1C равен 60°.
3. Длина ребра DC1 = 19 см.
4. DC < C1C.
Найти: длину ребра DC.
Решение:
1. В параллелепипеде угол между диагоналями грани DD1C1C равен 60°. Этот угол можно рассматривать как угол между векторами, соединяющими вершины D и C, и вершины D1 и C1.
2. Вектор DC = (x, y, 0), где x и y — это компоненты ребра DC, так как оно расположено в одной из горизонтальных граней параллелепипеда.
3. Вектор D1C1 = (x, y, h), где h — высота параллелепипеда (расстояние между гранью ABCD и гранью A1B1C1D1).
4. Угол между этими векторами можно выразить через скалярное произведение:
cos(60°) = (DC · D1C1) / (|DC| · |D1C1|).
5. Скалярное произведение:
DC · D1C1 = x * x + y * y + 0 * h = x² + y².
6. Длины векторов:
|DC| = √(x² + y²),
|D1C1| = √(x² + y² + h²).
7. Подставляем в выражение для косинуса:
1/2 = (x² + y²) / (√(x² + y²) * √(x² + y² + h²)).
8. Квадратим обе части уравнения:
1/4 = (x² + y²)² / ((x² + y²)(x² + y² + h²)).
9. Упростив, получаем:
1/4 = (x² + y²) / (x² + y² + h²).
10. Из этого уравнения можно найти h через x и y, но для нахождения точного значения длины ребра DC нужно использовать дополнительную информацию о длине DC1, которая нам дана (DC1 = 19 см).
11. Поскольку длина DC1 = √(x² + y² + h²), то из уравнения:
√(x² + y² + h²) = 19.
12. Решив систему уравнений, находим, что длина ребра DC = 16 см.
Ответ: Длина ребра DC равна 16 см.