а) Дано: АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 8 см.
Найти наибольший и наименьший углы в треугольнике ABC.
Решение:
1. Для нахождения углов в треугольнике можно использовать теорему косинусов. Теорема косинусов имеет вид:
cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
где a, b и c - стороны треугольника, а A - угол напротив стороны a.
2. Для нахождения угла A, используем стороны b = 9 см, c = 8 см и a = 10 см:
cos A = (9² + 8² - 10²) / (2 * 9 * 8) = (81 + 64 - 100) / 144 = 45 / 144 = 0,3125
A = arccos(0,3125) ≈ 72,3°
3. Теперь находим угол B, используя теорему косинусов с аналогичными данными:
cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (10² + 8² - 9²) / (2 * 10 * 8) = (100 + 64 - 81) / 160 = 83 / 160 = 0,51875
B = arccos(0,51875) ≈ 58,3°
4. Для угла C используем сумму углов в треугольнике, которая всегда равна 180°:
C = 180° - A - B = 180° - 72,3° - 58,3° = 49,4°
Ответ:
Наибольший угол: А ≈ 72,3°.
Наименьший угол: C ≈ 49,4°.
б) Дано: АВ = 30 мм, ВС = 17 мм, АС = 3 см (или 30 мм). Найти наибольший и наименьший углы в треугольнике ABC.
Решение:
1. Переведем все длины в одну единицу измерения. Так как АС = 3 см, переведем в миллиметры: АС = 30 мм.
2. Используем теорему косинусов, как и в предыдущем случае.
cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
где a = 30 мм, b = 17 мм, c = 30 мм.
cos A = (17² + 30² - 30²) / (2 * 17 * 30) = (289 + 900 - 900) / 1020 = 289 / 1020 ≈ 0,2833
A = arccos(0,2833) ≈ 73,5°
3. Теперь находим угол B:
cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (30² + 30² - 17²) / (2 * 30 * 30) = (900 + 900 - 289) / 1800 = 1511 / 1800 ≈ 0,8394
B = arccos(0,8394) ≈ 33,7°
4. Угол C находим по аналогии:
C = 180° - A - B = 180° - 73,5° - 33,7° = 72,8°
Ответ:
Наибольший угол: A ≈ 73,5°.
Наименьший угол: B ≈ 33,7°.