Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Сумма длин трёх любых сторон параллелограмма равна одному и тому же числу. То есть:
AB + BC + CD = x,
AB + AD + DC = x,
BC + CD + DA = x.
Найти:
- Доказать, что диагонали параллелограмма перпендикулярны.
Решение:
Пусть a = AB, b = BC, c = CD, d = DA — стороны параллелограмма. Согласно условию задачи, имеем следующие три равенства:
a + b + c = x,
a + d + c = x,
b + c + d = x.
Вычтем второе равенство из первого:
(a + b + c) - (a + d + c) = 0,
b - d = 0,
b = d.
Таким образом, BC = DA.
Теперь вычтем третье равенство из второго:
(a + d + c) - (b + c + d) = 0,
a - b = 0,
a = b.
Таким образом, AB = BC.
Таким образом, параллелограмм является ромбом, так как все его стороны равны. Теперь, для ромба, диагонали пересекаются под прямым углом.
Доказательство перпендикулярности диагоналей ромба:
Пусть диагонали ромба — это отрезки AC и BD. В ромбе диагонали не только делят угол пополам, но и пересекаются под прямым углом. То есть:
AC перпендикулярно BD.
Ответ:
Диагонали параллелограмма перпендикулярны.