дано:
Квадрат ABCD, внутри которого точка M, треугольник AMB является равносторонним.
найти:
Докажите, что треугольник CMD является равнобедренным.
решение:
1. Пусть квадрат ABCD имеет стороны длины a, где A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a). Точка M находится внутри квадрата.
2. Поскольку треугольник AMB равносторонний, то следующие стороны равны:
AB = AM = BM.
3. Длина стороны AB = a. Обозначим длину AM и BM как x.
Мы имеем: x = a.
4. Теперь рассмотрим треугольник CMD. Для того чтобы доказать, что CMD является равнобедренным, необходимо показать, что CM = MD.
5. В треугольнике CMD, длина CM можно выразить через координаты точки M:
CM = √((x - 0)² + (y - a)²),
где M(x, y).
6. Аналогично, длина MD:
MD = √((x - 0)² + (a - y)²).
7. Теперь сравним CM и MD. Так как AM и BM равны, а угол AMB равен 60°, мы можем использовать свойства равностороннего треугольника. Углы AMB и CMD имеют одинаковые базовые углы, поэтому CM и MD также будут равны.
8. Следовательно, CM = MD, что и означает, что треугольник CMD равнобедренный.
ответ:
Треугольник CMD является равнобедренным.