дано:
Квадрат ABCD, на его сторонах AB, BC, CD, AD последовательно отложены равные между собой отрезки AM, BN, CP и DL.
найти:
Докажите, что четырёхугольник MNPL является квадратом.
решение:
1. Пусть квадрат ABCD имеет сторону a. Тогда длина каждого отрезка AM, BN, CP и DL равна m, где m — это одинаковая длина отрезков, отложенных на каждой стороне квадрата.
2. Точки M, N, P, L лежат на сторонах квадрата, и отрезки AM = BN = CP = DL = m.
3. Рассмотрим векторное представление точек на координатной плоскости. Положим, что координаты вершин квадрата ABCD следующие:
A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a).
4. Точки M, N, P и L можно выразить через координаты точек на сторонах квадрата:
- M лежит на стороне AB, следовательно, его координаты: M(m, 0).
- N лежит на стороне BC, следовательно, его координаты: N(a, m).
- P лежит на стороне CD, следовательно, его координаты: P(a - m, a).
- L лежит на стороне AD, следовательно, его координаты: L(0, a - m).
5. Теперь рассмотрим длины сторон четырёхугольника MNPL. Для этого вычислим расстояния между соседними точками:
- Расстояние между точками M и N:
MN = √[(a - m - m)² + (m - 0)²] = √[(a - 2m)² + m²].
- Расстояние между точками N и P:
NP = √[(a - m - (a - m))² + (m - a)²] = √[0 + (m - a)²] = |m - a|.
- Расстояние между точками P и L:
PL = √[(a - m - 0)² + (a - (a - m))²] = √[(a - m)² + m²].
- Расстояние между точками L и M:
LM = √[(0 - m)² + (a - m - 0)²] = √[m² + (a - m)²].
6. Мы видим, что все стороны четырёхугольника MNPL равны, и все углы между ними прямые, так как они образованы отрезками, перпендикулярными сторонам квадрата. Следовательно, четырёхугольник MNPL является квадратом.
ответ:
Четырёхугольник MNPL является квадратом.