Дано:
Средняя линия трапеции равна 20 см.
Одна из диагоналей делит трапецию на два отрезка, разность которых равна 2 см.
Найти:
Основания трапеции.
Решение:
1. Пусть основание трапеции A = x см, а основание B = y см. Средняя линия трапеции равна (x + y) / 2, то есть:
(x + y) / 2 = 20
Умножим обе стороны на 2:
x + y = 40 (1)
2. Разность отрезков, на которые делит диагональ, равна 2 см. Пусть отрезки, на которые диагональ делит основание A, будут равны a и b, где a - бóльший отрезок, а b - меньший. Тогда:
a - b = 2 (2)
3. Так как сумма отрезков a и b равна основанию A, то:
a + b = x (3)
4. Подставим (2) в (3). Получим:
(a - b) + (a + b) = 2 + x
2a = 2 + x
a = (2 + x) / 2
5. Аналогично, отрезки, на которые диагональ делит основание B, будут равны c и d, где c - бóльший отрезок, а d - меньший. Тогда:
c - d = 2 (4)
6. Так как сумма отрезков c и d равна основанию B, то:
c + d = y (5)
7. Подставим (4) в (5). Получим:
(c - d) + (c + d) = 2 + y
2c = 2 + y
c = (2 + y) / 2
8. Теперь у нас есть система уравнений:
x + y = 40
a = (2 + x) / 2
c = (2 + y) / 2
9. По условию задачи, отрезки a и c должны быть равны, так как диагональ делит трапецию на два одинаковых отрезка. Следовательно:
(2 + x) / 2 = (2 + y) / 2
10. Умножим обе стороны на 2 и упростим:
2 + x = 2 + y
x = y
11. Подставим x = y в уравнение (1):
x + x = 40
2x = 40
x = 20
12. Так как x = y, то основание B тоже равно 20 см.
Ответ:
Основания трапеции равны 20 см и 20 см.