Дано:
- трапеция ABCD равнобедренная;
- прямые, содержащие боковые стороны AB и CD, пересекаются в точке P;
- диагонали трапеции пересекаются в точке O.
Найти: доказать, что прямая, проходящая через точку O (точку пересечения диагоналей) и точку P (точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны), перпендикулярна основаниям трапеции BC и AD и делит их пополам.
Решение:
1. Трапеция ABCD равнобедренная, значит, боковые стороны AB и CD равны, а основания BC и AD параллельны. Точки пересечения диагоналей делят трапецию на два треугольника с одинаковыми углами.
2. Рассмотрим прямую, проходящую через точку O (пересечение диагоналей) и точку P (пересечение прямых, содержащих боковые стороны). Пусть эта прямая называется прямой OP.
3. Прямая OP перпендикулярна основаниям трапеции, так как в равнобедренной трапеции прямые, содержащие боковые стороны, являются диагоналями, а прямые OP и основание BC (или AD) образуют углы 90 градусов.
4. Точка O, находящаяся на диагоналях, делит прямую OP пополам, так как эти диагонали равны и образуют одинаковые углы.
5. Следовательно, прямая OP перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.
Ответ: Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны, перпендикулярна основаниям трапеции и делит их пополам.