Дано:
Треугольник ABC, прямая, проходящая через вершину A, делит медиану CM пополам.
Найти:
Докажите, что эта прямая делит сторону BC в отношении 2:1, считая от вершины B.
Решение:
1. Пусть точка D — это точка пересечения прямой с основанием BC. Необходимо доказать, что отрезок BD будет в два раза длиннее отрезка DC.
2. В треугольнике ABC медиана CM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC.
3. Прямая, проходящая через вершину A и делящая медиану CM пополам, будет пересекать BC в точке D. Мы знаем, что медиана CM делится на два равных отрезка, то есть:
BM = MC.
4. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники имеют общую вершину A и общую прямую AD.
5. Прямая AD делит медиану CM пополам, и по теореме о средней линии, прямая, которая делит одну из сторон треугольника пополам, делит противоположную сторону в отношении 2:1.
6. Таким образом, отрезок BD будет в два раза длиннее отрезка DC, то есть:
BD/DC = 2/1.
Ответ:
Прямая, проходящая через вершину A и делящая медиану CM пополам, делит сторону BC в отношении 2:1, считая от вершины B.