Дано:
Параллелограмм ABCD, ∠ABD = 40°; центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD.
Найти: ∠DBC.
Решение:
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, и из условия задачи известно, что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CDA, лежат на диагонали BD. Эти центры являются центрами окружностей, описанных около треугольников, а следовательно, они расположены на прямой, соединяющей вершины треугольников и проходящей через точку пересечения диагоналей.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. Пусть центры описанных окружностей обозначены как O1 для треугольника ABC и O2 для треугольника CDA.
3. Так как центры окружностей лежат на диагонали BD, то это означает, что линия, соединяющая точки O1 и O2, параллельна одной из сторон параллелограмма, и по геометрии параллелограмма можно использовать информацию о углах и отношениях сторон для дальнейшего вычисления угла.
4. Теперь вычислим угол ∠DBC. Из того, что ∠ABD = 40° и диагонали параллелограмма делят его углы пополам, можно записать:
∠DBC = 180° - ∠ABD = 180° - 40° = 140°.
Ответ: ∠DBC = 140°.