Дано:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, диагонали пересекаются в точке M. Известно, что ∠ABC = 72°, ∠BCD = 102°, ∠AMD = 110°.
Найти: ∠ACD.
Решение:
1. Из условия задачи мы знаем, что четырёхугольник вписан в окружность, следовательно, его противоположные углы в сумме равны 180°. Таким образом, можно записать:
∠ABC + ∠ADC = 180°.
Подставляем значение ∠ABC = 72°:
72° + ∠ADC = 180°.
∠ADC = 180° - 72° = 108°.
2. Теперь, учитывая, что ∠AMD = 110°, а точки A, M и D лежат на окружности, то ∠AMD является углом, опирающимся на дугу AD. По теореме о внешнем угле в окружности:
∠AMD = 1/2 * (дуга AD).
Дуга AD = 2 * ∠AMD = 2 * 110° = 220°.
3. Теперь, чтобы найти угол ∠ACD, используем тот факт, что сумма углов на окружности между точками A, C и D должна составлять 180°. Таким образом, можно записать:
∠ACD = 180° - ∠ADC.
Подставляем ∠ADC = 108°:
∠ACD = 180° - 108° = 72°.
Ответ: ∠ACD = 72°.