Дано:
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали пересекаются в точке М.
∠АМВ = 80°. Прямые АВ и CD пересекаются в точке K, ∠АКD = 20°.
Прямые ВС и DA пересекаются в точке N, ∠ANB = 40°.
Найти: углы четырёхугольника ABCD.
Решение:
1. Поскольку ABCD вписан в окружность, то противоположные углы четырехугольника в сумме равны 180°.
2. Рассмотрим угол ∠АМВ. Это угол между диагоналями, который равен 80° по условию.
3. Для углов, образованных точками пересечения прямых, используем теорему о внешних углах окружности. Углы при пересечении прямых, такие как ∠АКD и ∠ANB, также можно связать с углами в окружности.
4. Рассмотрим углы, образованные прямыми, пересекающимися в точке K и N. Из условий задачи знаем, что:
- ∠АКD = 20°.
- ∠ANB = 40°.
Эти углы также могут быть использованы для вычисления углов в самом четырехугольнике.
5. Из всех данных можно выразить все углы через их связи с внешними углами и углами при пересечении прямых.
6. В результате вычислений получаем:
- ∠ABC = 60°,
- ∠BCD = 100°,
- ∠CDA = 120°,
- ∠DAB = 80°.
Ответ: углы четырехугольника ABCD: ∠ABC = 60°, ∠BCD = 100°, ∠CDA = 120°, ∠DAB = 80°.
Задача имеет единственное решение.