Дано:
Основания трапеции ABCD: BC = 4 см, AD = 16 см.
Длина отрезка BD = 8 см.
Найти:
Показать, что треугольники ∆BCD и ∆ABD подобны (∆BCD ∼ ∆ABD).
Решение:
1. Рассмотрим треугольники ∆BCD и ∆ABD.
2. Углы BCD и ABD являются накрест лежащими углами, так как линии BC и AD параллельны (основия трапеции). Следовательно, угол BCD = угол ABD.
3. Теперь найдем длину отрезка AC. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AC в треугольнике ABD:
- В треугольнике ABD:
AC = AD - DC
- Сначала найдем длину DC, используя теорему Пифагора в треугольнике BCD:
BD^2 = BC^2 + CD^2
8^2 = 4^2 + CD^2
64 = 16 + CD^2
CD^2 = 64 - 16 = 48
CD = sqrt(48) = 4√3 см
Затем:
AC = AD - DC = 16 - 4√3 см.
4. Теперь найдем соотношения сторон в треугольниках:
- Для треугольника ∆BCD:
BC/BD = 4/8 = 1/2
- Для треугольника ∆ABD:
AB/AD = (AC)/16 = (16 - 4√3)/16
5. Мы видим, что стороны BC и BD соотносятся как 1:2.
6. Сравним два треугольника:
У нас есть равенство углов (BCD = ABD) и пропорциональные стороны (BC/BD = 1/2), что доказывает, что треугольники ∆BCD и ∆ABD подобны по критерию угла и стороны.
Ответ:
Треугольники ∆BCD и ∆ABD подобны (∆BCD ∼ ∆ABD).