Дано:
Параллелограмм ABCD, отрезки AM и AN — перпендикуляры, проведенные к прямым BC и CD соответственно.
Найти:
Показать, что треугольники ABC и MAN подобны (ABC ∼ MAN).
Решение:
1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны:
- AB || CD
- BC || AD
2. Отрезки AM и AN — перпендикуляры к прямым BC и CD соответственно. Это означает, что угол AMB = 90° и угол ANB = 90°.
3. Рассмотрим треугольники ABC и MAN:
- Углы в треугольнике ABC:
- угол ABC и угол MAN — это накрест лежащие углы, так как прямые AB и CD параллельны, а AM и AN — перпендикуляры к этим прямым.
- угол ABC = угол MAN.
- Углы в треугольнике MAN:
- угол AMN и угол ACB — это также накрест лежащие углы, так как AM и AN перпендикулярны к BC и CD, а прямые AB и CD параллельны.
- угол AMN = угол ACB.
4. Мы имеем два равных угла в каждом из треугольников:
- угол ABC = угол MAN
- угол AMN = угол ACB
5. Так как у нас есть два равных угла, треугольники ABC и MAN подобны по признаку равенства углов (по двум углам).
Ответ:
Треугольники ABC и MAN подобны (ABC ∼ MAN).