Дано:
- точка М лежит на окружности,
- перпендикуляр MD проведён из точки М к диаметру AB.
Найти: доказать, что MD^2 = AD * BD.
Решение:
Пусть O — центр окружности, радиус равен R.
Диаметр AB имеет длину 2R.
Пусть D — точка пересечения перпендикуляра MD с диаметром AB.
Треугольник OMD прямоугольный, так как OD перпендикулярен AB. Сначала рассмотрим треугольник OMD. По теореме Пифагора в этом треугольнике:
OM^2 = OD^2 + MD^2.
Так как OD = R (половина диаметра), получаем:
OM^2 = R^2 + MD^2. (1)
Теперь рассмотрим треугольники OAD и OBD. Эти треугольники равны по гипотенузам и одному из катетов (OD), так как OD — это радиус окружности, и в каждом треугольнике есть общий катет (OD). Следовательно, AD = BD.
Теперь применим свойство подобия треугольников OAD и OBD. Из подобия треугольников получаем:
MD^2 = AD * BD.
Ответ: доказано, что MD^2 = AD * BD.