Дано:
- треугольник ABC прямоугольный,
- AC = BC,
- AB = 12 см,
- окружность с центром в точке C и радиусом 6 см.
Найти: взаимное расположение прямой AB и окружности с центром в точке C и радиусом 6 см.
Решение:
Так как треугольник ABC прямоугольный и AC = BC, то треугольник ABC — равнобедренный. Это означает, что угол ACB равен 90°, а отрезки AC и BC равны.
Так как AB — гипотенуза, то для нахождения длины AC (и BC) применим теорему Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
12^2 = AC^2 + AC^2.
144 = 2AC^2.
AC^2 = 72.
AC = √72 ≈ 8.49 см.
Теперь, чтобы определить взаимное расположение прямой AB и окружности, нужно сравнить расстояние от центра окружности (точки C) до прямой AB с радиусом окружности.
Расстояние от точки C до прямой AB в прямоугольном треугольнике можно найти, так как точка C лежит на вершине прямого угла. Расстояние от точки C до прямой AB будет равно длине отрезка, который является высотой треугольника, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.
Высота h, проведенная из точки C на гипотенузу AB, может быть найдена по формуле для площади прямоугольного треугольника:
площадь треугольника = (1/2) * AB * h = (1/2) * AC * BC.
Подставляем известные значения:
(1/2) * 12 * h = (1/2) * 8.49 * 8.49.
12 * h = 8.49 * 8.49.
12 * h ≈ 72.07.
h ≈ 72.07 / 12 ≈ 6.00 см.
Таким образом, расстояние от точки C до прямой AB равно 6 см, что совпадает с радиусом окружности.
Следовательно, прямая AB касается окружности в точке, так как расстояние от центра окружности (точки C) до прямой AB равно радиусу окружности.
Ответ: прямая AB касается окружности в точке.