Дано:
- остроугольный треугольник ABC,
- точка Н — ортоцентр треугольника.
Найти: доказать, что ∠АВН = ∠АСН.
Решение:
Для доказательства, что углы ∠АВН и ∠АСН равны, будем использовать свойства ортоцентра и высот треугольника.
1. В любом треугольнике ортоцентр Н — это точка пересечения высот. Таким образом, NH — это высоты, опущенные из точек A, B и C на противоположные стороны.
2. Высоты треугольника перпендикулярны сторонам, и это дает нам важное свойство: углы, образующиеся между отрезками, соединяющими вершины с ортоцентром, имеют одинаковые величины.
3. Поскольку треугольник ABC остроугольный, ортоцентр Н лежит внутри треугольника. Важно, что высоты из точек A и C являются перпендикулярными к сторонам BC и AB соответственно.
4. Угол ∠АВН равен углу ∠АСН, так как обе эти величины образуются между одной и той же высотой, проведенной через разные вершины треугольника, но они лежат в одной и той же плоскости и симметричны относительно высоты.
Доказательство завершено.
Ответ: ∠АВН = ∠АСН.