Дано:
Прямоугольный треугольник АВС, биссектриса CD делит гипотенузу на отрезки 3 см и 4 см.
Найти катеты треугольника АВС.
Решение:
Обозначим катеты треугольника АВС как:
AC = a,
BC = b,
где гипотенуза AB = c.
Так как биссектриса делит гипотенузу на отрезки, то из теоремы о биссектрисе прямоугольного треугольника, которая гласит, что биссектриса гипотенузы делит её на отрезки, пропорциональные катетам, имеем:
AC / BC = 3 / 4.
Это даёт соотношение между катетами:
a / b = 3 / 4.
Следовательно, можно выразить один катет через другой:
a = 3b / 4.
Теперь используем теорему Пифагора для треугольника АВС:
a² + b² = c².
Также, по условию задачи, гипотенуза AB делится биссектрисой на отрезки длиной 3 см и 4 см, то есть:
c = 3 + 4 = 7 см.
Подставим значение гипотенузы и выражение для a в теорему Пифагора:
(3b / 4)² + b² = 7².
Преобразуем уравнение:
(9b² / 16) + b² = 49.
Теперь умножим обе стороны уравнения на 16, чтобы избавиться от знаменателей:
9b² + 16b² = 49 * 16.
25b² = 784.
b² = 784 / 25.
b² = 31.36.
b ≈ 5.6 см.
Теперь, зная b, найдём a:
a = 3b / 4 = 3 * 5.6 / 4 = 4.2 см.
Ответ:
Катеты треугольника АВС равны a ≈ 4.2 см и b ≈ 5.6 см.