Дано:
- Меньшая боковая сторона CD = 12 см,
- Меньшее основание BC = 16 см,
- Угол между боковой стороной CD и большим основанием AD = 45°.
Найти:
а) проекции диагоналей трапеции на её большее основание AD,
б) проекции боковой стороны на большее основание AD.
Решение:
а) Проекция диагоналей на большее основание
Для трапеции диагонали пересекаются, и их проекции на большее основание равны. Так как угол между боковой стороной и основанием 45°, то проекция диагонали на основание будет равна длине диагонали, умноженной на косинус угла 45°.
1. Проекция диагонали AC на большее основание:
Диагональ AC делится на две части: одна часть от точки пересечения до основания, вторая часть — от точки пересечения до вершины. Но так как трапеция имеет угол 45°, то проекция диагонали AC на основание равна:
проекция AC = AC * cos(45°).
2. Диагональ AC можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника, образованного боковой стороной CD и основаниями трапеции. Боковая сторона CD = 12 см, а разница между большими и меньшими основаниями равна разности между основанием AD и основанием BC. Пусть большее основание AD равно x см. Тогда:
x - 16 = 12.
Решив это, находим, что x = 28 см.
Теперь, используя теорему Пифагора для треугольника с катетами 28 см и 12 см, мы можем найти длину диагонали AC:
AC = √(28² + 12²) = √(784 + 144) = √928 ≈ 30.4 см.
Теперь, проекция диагонали на большее основание будет:
проекция AC = 30.4 * cos(45°) = 30.4 * √2 / 2 ≈ 21.5 см.
3. Проекция диагонали BD будет такой же, так как трапеция симметрична относительно диагоналей:
проекция BD = 21.5 см.
Ответ: проекции диагоналей на большее основание равны 21.5 см каждая.
б) Проекция боковой стороны на большее основание
Проекция боковой стороны CD на большее основание AD также вычисляется с использованием косинуса угла между боковой стороной и основанием:
проекция CD = CD * cos(45°).
Так как CD = 12 см и угол 45°, то:
проекция CD = 12 * cos(45°) = 12 * √2 / 2 ≈ 8.49 см.
Ответ: проекция боковой стороны на большее основание равна 8.49 см.
Итак, ответы:
а) Проекция диагоналей на большее основание — 21.5 см.
б) Проекция боковой стороны на большее основание — 8.49 см.