дано:
- меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции a = 12 см.
- острый угол α = 45°.
- в трапецию можно вписать окружность.
найти:
- площадь S трапеции.
решение:
1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. То есть:
a + b = c + d,
где a и b — основания трапеции, c и d — боковые стороны.
2. Из условия задачи известно, что одна из боковых сторон равна 12 см. Пусть вторая боковая сторона будет равна d. Поскольку трапеция прямоугольная и угол α = 45°, боковая сторона и основание образуют прямой угол. В прямоугольном треугольнике с углом 45° длина второй боковой стороны d будет равна длине основания b, так как в прямоугольном треугольнике с углом 45° оба катета равны.
3. Таким образом, вторая боковая сторона также будет равна 12 см:
d = 12 см.
4. Теперь, зная, что сумма оснований равна сумме боковых сторон, можем записать:
a + b = 2 * c,
12 см + b = 12 см + 12 см,
b = 12 см.
5. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
S = (a + b) * h / 2,
где h — высота трапеции.
6. Для нахождения высоты h в прямоугольной трапеции используем теорему Пифагора для треугольника с основанием b и боковой стороной. Поскольку угол α = 45°, то высота h будет равна боковой стороне.
h = 12 см.
7. Теперь можем найти площадь:
S = (12 см + 12 см) * 12 см / 2 = 24 см * 12 см / 2 = 144 см².
ответ:
Площадь трапеции равна 144 см².