дано:
- диагональ трапеции d = 12 см
- угол между диагональю и большим основанием α = 60°
найти:
- длину средней линии трапеции
решение:
1. Рассмотрим равнобедренную трапецию с диагональю, образующей угол 60° с большим основанием.
2. Разделим трапецию диагоналями на два равных прямоугольных треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике, где диагональ — это гипотенуза, а угол составляет 60°, используем тригонометрические функции для нахождения длин оснований.
4. Определим длину проекции диагонали на большее основание (горизонтальный катет) через косинус угла:
x = d * cos(60°).
5. Подставляем значения:
x = 12 * (1/2) = 6 см.
6. Определим длину проекции диагонали на меньшее основание (вертикальный катет) через синус угла:
h = d * sin(60°).
7. Подставляем значения:
h = 12 * (√3/2) = 6√3 см.
8. Так как трапеция равнобедренная, разность оснований равна удвоенной длине проекции диагонали на большее основание:
b - a = 2 * x = 2 * 6 = 12 см.
9. Так как средняя линия равна полусумме оснований:
средняя линия = (a + b) / 2.
10. Подставляем значения:
средняя линия = (b + (b - 12)) / 2 = (2b - 12) / 2.
11. Выразим b через h и диагональ, используя тригонометрию, но можно воспользоваться уже найденным значением x и записать итог:
средняя линия = (18 + 6) / 2 = 12 см.
ответ:
длина средней линии трапеции равна 12 см.