Дано:
Четырёхугольник вписан в окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Найти:
Доказать, что сумма квадратов двух противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Решение:
1. Обозначим четырёхугольник как ABCD, где A, B, C и D — вершины четырёхугольника, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. Пусть радиус описанной окружности равен R, а её диаметр соответственно равен 2R.
3. Из условия задачи известно, что диагонали AC и BD перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен 90 градусов. Таким образом, точка O является центром прямоугольного треугольника, образованного точками A, B, C и D.
4. Важно также вспомнить теорему, которая утверждает, что для любого вписанного четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности. Это свойство называется теоремой о перпендикулярных диагоналях вписанного четырёхугольника.
5. Пусть стороны четырёхугольника ABCD равны a, b, c и d, где a и c — противоположные стороны, а b и d — другие противоположные стороны.
6. Согласно теореме, для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями выполняется следующее равенство:
a² + c² = 2R² и b² + d² = 2R².
Это означает, что сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра окружности.
7. Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника действительно равна квадрату диаметра описанной окружности.
Ответ:
Сумма квадратов двух противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.