дано:
- максимальное суточное смещение солнца в начале января (Δθ_янв) = 61' = 61 / 60 градуса
- минимальное суточное смещение солнца в начале июля (Δθ_июл) = 57' = 57 / 60 градуса
найти:
- эксцентриситет орбиты земли (e)
- точки орбиты, которые проходит земля в эти дни
решение:
суточное смещение солнца по эклиптике связано со скоростью орбитального движения земли. скорость движения земли изменяется в соответствии с законом площадей кеплера:
v = 2πa / t * (1 + e * cosν) / (1 - e²)^(1/2)
где:
- v – орбитальная скорость,
- a – большая полуось орбиты,
- t – период обращения земли вокруг солнца (1 год),
- e – эксцентриситет орбиты,
- ν – истинная аномалия.
так как суточное угловое смещение пропорционально скорости движения земли, используем соотношение:
Δθ_янв / Δθ_июл = v_янв / v_июл
из закона сохранения энергии для эллиптической орбиты:
v_per / v_ap = ( (1 + e) / (1 - e) )^(1/2)
где:
- v_per – скорость в перигелии (ближайшая точка к солнцу, январь),
- v_ap – скорость в афелии (самая дальняя точка от солнца, июль).
подставляем значения:
(61/57) = ( (1 + e) / (1 - e) )^(1/2)
возведем обе части в квадрат:
(61/57)² = (1 + e) / (1 - e)
вычисляем:
(1 + e) / (1 - e) = (61/57)²
(1 + e) / (1 - e) ≈ 1.141
решаем уравнение:
1 + e = 1.141 - 1.141e
1 + 1.141e = 1.141
1.141e = 0.141
e ≈ 0.124
точки орбиты:
- в начале января земля находится в перигелии – ближайшей точке к солнцу.
- в начале июля земля находится в афелии – самой дальней точке от солнца.
ответ:
эксцентриситет орбиты земли составляет примерно 0.124. в начале января земля проходит перигелий, а в начале июля – афелий.