Видимое с Земли суточное смещение Солнца по эклиптике в начале января достигает наибольшего значения 61', а в начале июля — наименьшего значения 57'. Вычислить эксцентриситет земной орбиты и указать, какие ее точки Земля проходит в эти дни.
от

1 Ответ

дано:  
- максимальное суточное смещение солнца в начале января (Δθ_янв) = 61' = 61 / 60 градуса  
- минимальное суточное смещение солнца в начале июля (Δθ_июл) = 57' = 57 / 60 градуса  

найти:  
- эксцентриситет орбиты земли (e)  
- точки орбиты, которые проходит земля в эти дни  

решение:  
суточное смещение солнца по эклиптике связано со скоростью орбитального движения земли. скорость движения земли изменяется в соответствии с законом площадей кеплера:  

v = 2πa / t * (1 + e * cosν) / (1 - e²)^(1/2)  

где:  
- v – орбитальная скорость,  
- a – большая полуось орбиты,  
- t – период обращения земли вокруг солнца (1 год),  
- e – эксцентриситет орбиты,  
- ν – истинная аномалия.  

так как суточное угловое смещение пропорционально скорости движения земли, используем соотношение:  

Δθ_янв / Δθ_июл = v_янв / v_июл  

из закона сохранения энергии для эллиптической орбиты:  

v_per / v_ap = ( (1 + e) / (1 - e) )^(1/2)  

где:  
- v_per – скорость в перигелии (ближайшая точка к солнцу, январь),  
- v_ap – скорость в афелии (самая дальняя точка от солнца, июль).  

подставляем значения:  

(61/57) = ( (1 + e) / (1 - e) )^(1/2)  

возведем обе части в квадрат:  

(61/57)² = (1 + e) / (1 - e)  

вычисляем:  

(1 + e) / (1 - e) = (61/57)²  
(1 + e) / (1 - e) ≈ 1.141  

решаем уравнение:  

1 + e = 1.141 - 1.141e  
1 + 1.141e = 1.141  
1.141e = 0.141  
e ≈ 0.124  

точки орбиты:  
- в начале января земля находится в перигелии – ближайшей точке к солнцу.  
- в начале июля земля находится в афелии – самой дальней точке от солнца.  

ответ:  
эксцентриситет орбиты земли составляет примерно 0.124. в начале января земля проходит перигелий, а в начале июля – афелий.
от