Дано:
Стороны треугольника: a = 12 см, b = 15 см, c = 18 см.
Найти:
Длину биссектрисы, проведенной из вершины наибольшего угла.
Решение:
1. Определим, какая сторона является наибольшей. Наибольшая сторона c = 18 см, следовательно, угол C является наибольшим углом.
2. Для нахождения длины биссектрисы, проведенной из вершины C, воспользуемся формулой:
L_c = (2 * a * b) / (a + b) * cos(C/2),
где a = 12 см, b = 15 см, c = 18 см. Сначала найдем угол C. Для этого используем теорему косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(C).
Подставим значения:
18² = 12² + 15² - 2 * 12 * 15 * cos(C).
324 = 144 + 225 - 360 * cos(C).
324 = 369 - 360 * cos(C).
360 * cos(C) = 369 - 324.
360 * cos(C) = 45.
cos(C) = 45 / 360 = 1 / 8.
3. Теперь найдем угол C:
C = cos⁻¹(1/8).
4. Далее найдем cos(C/2):
Используем формулу для вычисления cos(C/2):
cos(C/2) = √((1 + cos(C)) / 2).
cos(C/2) = √((1 + 1/8) / 2) = √((9/8) / 2) = √(9/16) = 3/4.
5. Теперь подставим значения a, b и cos(C/2) в формулу для длины биссектрисы:
L_c = (2 * 12 * 15) / (12 + 15) * (3/4).
L_c = (360) / (27) * (3/4).
L_c = (360 * 3) / (27 * 4) = 1080 / 108 = 10 см.
Ответ:
Длина биссектрисы, проведенной из вершины наибольшего угла, равна 10 см.