Для доказательства данного утверждения, рассмотрим силы, действующие на груз при подъеме по наклонной плоскости без трения.
1. Сила тяжести (Fg): Действует вниз и равна массе груза (m) умноженной на ускорение свободного падения (g).
2. Нормальная сила (Fn): Действует перпендикулярно наклонной плоскости и равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную плоскости.
3. Сила, приложенная для подъема (F): Действует вдоль наклонной плоскости и направлена вверх.
Для упрощения рассмотрим только два перпендикулярных направления: параллельное плоскости (x) и перпендикулярное плоскости (y).
На оси x:
F = Fg * sin(θ),
где θ - угол наклона плоскости.
На оси y:
Fn + F = Fg * cos(θ),
где Fn - нормальная сила.
Теперь, чтобы доказать утверждение, нам нужно сравнить силу, которую нужно приложить для подъема груза (F) с силой тяжести, действующей вдоль оси, параллельной плоскости (Fg * sin(θ)).
Разделим уравнения на силу тяжести:
F / (Fg * sin(θ)) = (Fg * sin(θ)) / (Fg * cos(θ)),
Сократим Fg:
F / (Fg * sin(θ)) = sin(θ) / cos(θ),
Используем тригонометрическое соотношение:
F / (Fg * sin(θ)) = tan(θ),
Для простоты обозначим i = длина плоскости, h = высота подъема.
Так как tan(θ) = h / i, заменим это в уравнении:
F / (Fg * sin(θ)) = h / i,
Учитывая, что Fg = m * g, получаем:
F / (m * g * sin(θ)) = h / i,
Сократим m * g:
F / (g * sin(θ)) = h / i,
Таким образом, мы доказали, что F / (g * sin(θ)) = h / i, что равносильно утверждению, что выигрыш в силе (F) равен отношению i/h.