Для начала обозначим угол B как 2α, а угол C как α.
Так как AL — биссектриса треугольника ABC, то угол BAL = углу BAC = 180° - 2α. Тогда угол ABL = α.
Из условия BK + BA = AC следует, что AK = KC. Таким образом, треугольник ABK равнобедренный, поэтому угол KAB = углу KBA = β (пусть угол KBA = β).
Из того, что угол KAB = углу ABC = β, следует, что угол ABC = углу ABL = α. Таким образом, в треугольнике ABC получаем, что угол A = 180° - 3α.
Рассмотрим треугольник BMK. Так как M — середина отрезка KL, то KM = ML. Также угол KMB = углу KMA = β (так как BM параллелен AC и пересекает BK в точке K).
Теперь заметим, что угол KMB + угол KAB = угол ABC = α + β. Но угол ABC = α, поэтому α + β = α, откуда следует, что β = 0. Из этого следует, что угол KMB = 90°.
Таким образом, доказано, что ∠BMK = 90°.