Для решения этой задачи мы можем использовать законы преломления света на границе раздела сред.
При падении луча света на сферическую поверхность половинки стеклянного шара происходит преломление. Луч света будет преломлен при входе в стекло, а затем снова преломлен при выходе из стекла через плоскую поверхность полушара.
Пусть точка падения луча на сферическую поверхность половинки стеклянного шара находится на расстоянии x от оси O-O'. Так как а << R, мы можем считать, что угол падения очень маленький, и луч можно считать практически параллельным оси O-O'.
Из геометрических соображений следует, что после преломления на сферической поверхности луч будет проходить через центр кривизны сферы и будет сфокусирован в фокусе F на оси O-O'. Расстояние от центра кривизны до оси O-O' равно R, а расстояние от точки падения луча до центра кривизны равно R - x.
Используя закон преломления света на границе раздела двух сред (n1sin(theta1) = n2sin(theta2)), можно записать два уравнения для преломления на входе и на выходе из стекла:
nsin(theta1) = sin(theta2)
nsin(theta3) = sin(theta4)
где n - показатель преломления стекла, theta1 и theta2 - углы падения и преломления при входе в стекло, theta3 и theta4 - углы падения и преломления при выходе из стекла.
Так как углы падения и преломления связаны соотношением sin(theta) = h/R, где h - высота точки на поверхности относительно оси O-O', можем записать:
n*(h/(R-x)) = h/R
n*(h/R) = h/(R-x)
Решая эти уравнения, найдем значение x, которое покажет, на каком расстоянии от плоской поверхности полушара пересечется ось O-O' луч, вышедший из полушара.