Дано:
Плотность заряда слоя: ρ
Толщина слоя: a
Расстояние от середины слоя: x
Решение:
Поскольку слой заряжен, внутри него создается электрическое поле. Для нахождения напряженности поля воспользуемся законом Гаусса. Рассмотрим прямоугольный контур, который перпендикулярен плоскостям и проходит через середину слоя. Площадь этого контура равна S = 2aL, где L - расстояние между плоскостями.
Закон Гаусса для электрического поля имеет вид:
∮E*dS = Q/ε₀
где Q - заряд, заключенный внутри контура, ε₀ - абсолютная диэлектрическая проницаемость.
Изобразим контур и рассчитаем заряд, заключенный внутри него:
|-----L-----|
| |
|-----------| <- контур
2a
Заряд, заключенный внутри контура, равен объемному заряду слоя, умноженному на объем контура:
Q = ρ * a * 2a * L = 2a²L * ρ
Из-за симметрии поля вектор напряженности электрического поля E будет направлен перпендикулярно плоскостям и не будет зависеть от координаты y.
Таким образом, используя закон Гаусса и найденный заряд, получаем:
E*S = Q/ε₀
E * 2aL = 2a²L * ρ / ε₀
E = ρ * a / ε₀
Зависимость напряженности электрического поля от расстояния x (отсчитанного от середины слоя) будет линейной, так как поле является однородным во всех точках слоя.
Разность потенциалов между серединой слоя и точкой, находящейся на расстоянии x от нее, можно найти с помощью формулы для разности потенциалов между двумя точками в однородном поле:
ΔV = -E * x
Ответ:
Зависимость напряженности электрического поля от расстояния x (отсчитанного от середины слоя) равна E = ρ * a / ε₀. Разность потенциалов между серединой слоя и точкой, находящейся на расстоянии x от нее, равна ΔV = - E * x.