Обозначим внутреннее сопротивление элемента как r. Общее сопротивление цепи в каждом случае будет равно сумме внутреннего и внешнего сопротивлений:
R1 + r и R2 + r
Количество выделяющейся теплоты пропорционально мощности, которая, в свою очередь, определяется по закону Ома:
P = U^2 / R
где U - напряжение на сопротивлении, R - его сопротивление.
Так как количество выделяющейся теплоты одинаковое в обоих случаях, то можно записать:
U1^2 / R1 = U2^2 / R2
где U1 и U2 - напряжения на сопротивлениях в каждом случае. Из закона Ома следует:
U1 = I * (R1 + r)
U2 = I * (R2 + r)
Подставляя эти выражения, получим:
I^2 * (R1 + r)^2 / R1 = I^2 * (R2 + r)^2 / R2
Упрощая выражение, получим:
(R1 + r)^2 / R1 = (R2 + r)^2 / R2
Раскрыв скобки и упростив выражение, получим квадратное уравнение относительно r:
9r^2 + 42r + 16 = 0
Решая данное квадратное уравнение, получим два корня:
r1 = -2/3 Ом
r2 = -8/3 Ом
Так как внутреннее сопротивление элемента не может быть отрицательным, то решением является только r = r2 = -8/3 Ом.
Ответ: внутреннее сопротивление элемента равно 8/3 Ом.