К источнику постоянного напряжения подключают сопротивления R1 и R2 один раз последовательно, другой раз параллельно. Выделяемая на сопротивлениях мощность во втором случае в 4 раза больше, чем в первом. Определите отношение сопротивлений.
от

1 Ответ

Дано:  
U - постоянное напряжение источника (В)  
R1 - сопротивление первого резистора (Ом)  
R2 - сопротивление второго резистора (Ом)  

Найти:  
Отношение сопротивлений R1 и R2.

Решение:  
1. Рассмотрим первый случай, когда резисторы R1 и R2 подключены последовательно. Общее сопротивление будет:  
Rсоч = R1 + R2.  

Мощность, выделяемая на этих сопротивлениях, можно выразить следующим образом:  
P1 = U^2 / Rсоч  
P1 = U^2 / (R1 + R2).

2. Рассмотрим второй случай, когда резисторы подключены параллельно. Общее сопротивление будет:  
1/Rпарал = 1/R1 + 1/R2,  
отсюда:  
Rпарал = (R1 * R2) / (R1 + R2).  

Мощность, выделяемая на параллельном соединении:  
P2 = U^2 / Rпарал  
P2 = U^2 / ((R1 * R2) / (R1 + R2))  
P2 = (U^2 * (R1 + R2)) / (R1 * R2).

3. Из условия задачи известно, что P2 = 4 * P1. Подставим значения P1 и P2:  
(U^2 * (R1 + R2)) / (R1 * R2) = 4 * (U^2 / (R1 + R2)).

4. Упростим уравнение, сократив U^2:  
(R1 + R2) / (R1 * R2) = 4 / (R1 + R2).

5. Умножим обе стороны на (R1 + R2) * R1 * R2:  
(R1 + R2)^2 = 4 * R1 * R2.

6. Раскроем квадрат:  
R1^2 + 2*R1*R2 + R2^2 = 4 * R1 * R2.  
Преобразуем уравнение:  
R1^2 - 2*R1*R2 + R2^2 = 0.  

7. Это квадратное уравнение имеет вид:  
(R1 - R2)^2 = 0.  
Следовательно:  
R1 - R2 = 0,  
R1 = R2.

Ответ:  
Отношение сопротивлений R1 и R2 равно 1:1.
от