Дано:
U - постоянное напряжение источника (В)
R1 - сопротивление первого резистора (Ом)
R2 - сопротивление второго резистора (Ом)
Найти:
Отношение сопротивлений R1 и R2.
Решение:
1. Рассмотрим первый случай, когда резисторы R1 и R2 подключены последовательно. Общее сопротивление будет:
Rсоч = R1 + R2.
Мощность, выделяемая на этих сопротивлениях, можно выразить следующим образом:
P1 = U^2 / Rсоч
P1 = U^2 / (R1 + R2).
2. Рассмотрим второй случай, когда резисторы подключены параллельно. Общее сопротивление будет:
1/Rпарал = 1/R1 + 1/R2,
отсюда:
Rпарал = (R1 * R2) / (R1 + R2).
Мощность, выделяемая на параллельном соединении:
P2 = U^2 / Rпарал
P2 = U^2 / ((R1 * R2) / (R1 + R2))
P2 = (U^2 * (R1 + R2)) / (R1 * R2).
3. Из условия задачи известно, что P2 = 4 * P1. Подставим значения P1 и P2:
(U^2 * (R1 + R2)) / (R1 * R2) = 4 * (U^2 / (R1 + R2)).
4. Упростим уравнение, сократив U^2:
(R1 + R2) / (R1 * R2) = 4 / (R1 + R2).
5. Умножим обе стороны на (R1 + R2) * R1 * R2:
(R1 + R2)^2 = 4 * R1 * R2.
6. Раскроем квадрат:
R1^2 + 2*R1*R2 + R2^2 = 4 * R1 * R2.
Преобразуем уравнение:
R1^2 - 2*R1*R2 + R2^2 = 0.
7. Это квадратное уравнение имеет вид:
(R1 - R2)^2 = 0.
Следовательно:
R1 - R2 = 0,
R1 = R2.
Ответ:
Отношение сопротивлений R1 и R2 равно 1:1.